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S Ferner ist 0 < ggT(m, n) m. Deshalb ist b > 0, falls a > O. Fur a = 0 folgt b < 0 und aus 0 < ggT(m,n):S n sogar b = -l. Nun sei a -# o. Ware b ~ m, so ergabe sich der Widerspruch 0< ggT(m,n) = am - bn < nm - mn = o. (b) Sind m und n teilerfremd, so ergibt (a) eine Gleichung 1 = am - bn. h. er ist gleich 1 oder -l. Fur eine zweite Losung a', b' erhalten Wlr am-bn=l=a'm-b'n ~ (a-a')m=(b-b')n. h. a - a' = xn. Deshalb ist (b - b')n = xnm, also b - b' = xm. 0 Wie anfangs gesagt, werden bei logischen Schlussen aus richtigen Aussagen weitere richtige Aussagen gewonnen.

C) 1st a E (M,o)*, so ist a' E (M,o)* und (a')' = a. (d) Sind a,b E (M,o)*, so ist aob E (M,o)* und (a 0 b)' = b' oa'. Be wei s (a) 1st auch a 0 a" a' = a' (a 0 (b) (c) (d) b) 0 0 e = a' 0 = a" 0 a = e, so gilt (a 0 a") = (a' 0 a) 0 a" = e 0 a" = a". folgt aus (a), weil e Inverses von e ist. folgt aus (a), weil a Inverses von a' ist. Wegen (b' oa') 0 (aob) = b' 0 (a' oa) ob = b' oeob = b' ob = e und analog (b' 0 a') = e ist b' 0 a' Inverses von a 0 b, also nach (a) gleich (a 0 b)'. 14 Bemerkungen (a) In der Regel fiir das inverse Element eines Produktes aob steht das Inverse des vorderen Elementes hinter dem des hinteren Elementes.

Hierbei handelt es sich um ein Axiom der Mengenlehre, also um eine Grundvoraussetzung, die nicht bewiesen werden kann, sondern "klar" ist. ) Analog ergibt sich die zweite Formel. 0 26 2 Vorbereitungen Urn die Gleichheit zweier irgendwie gegebener Mengen X und Y zu beweisen, ist es meistens vorteilhaft, die beiden Aussagen "X c Y" und "X ::::> Y" getrennt zu beweisen. 8 Voraussetzung A, A', B seien Mengen. Behauptung (A U A') n B = (A n B) U (A' n B). Be wei s Nachweis von "c ": Wir klammern im folgenden Beweis logische Aussagen mit eckigen Klammern ein.

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